Se nos plantea el siguiente problema: 5 hombres, trabajando 6 horas diarias, han cavado un agujero de 40 metros en 8 días. ¿Cuántos días necesitarán 9 hombres, trabajando 8 horas, para cavar un agujero de 60 metros?
Si crees que sabes resolverlo y que no tienes nada más que aprender, no continúes leyendo este artículo. Si no sabes o tienes dudas, entonces enhorabuena, te has percatado de que algo no va bien. Te propongo mandar tu respuesta al problema de forma anónima participando en la encuesta aquí.
No te preocupes si no recuerdas cómo te enseñaron a resolverlo, no es tu culpa y en este artículo te lo demuestro. Te reconozco que a mí me llevó su tiempo entender qué es lo que ocurre.
La problemática es que la regla de tres se basa en dos hipótesis sin demostración y en deducciones erróneas despreciando las magnitudes. Veámoslo paso a paso.
Este problema se enseña a resolver con lo que se ha denominado «regla de tres compuesta». La llaman compuesta porque tiene más de dos magnitudes. ¿Cuáles se identifican concretamente en el problema?
- Número de hombres.
- Horas diarias de trabajo.
- Tamaño del agujero en metros.
- Número de días de trabajo.
Lo primero que se hace al explicar la regla de tres con magnitudes es exponer las siguientes dos hipótesis:
- Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número la otra resulta multiplicada o dividida respectivamente por ese mismo número.
- Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número la otra resulta dividida o multiplicada respectivamente por ese mismo número.
Obsérvese que ambas hipótesis comienzan con la expresión «se dice que», pues no han podido ser demostradas. Por eso son hipótesis.
El método que enseñan para resolver este tipo de problemas consiste en los siguientes pasos:
1.º Se colocan las cantidades con sus magnitudes clasificándolas según sean supuesto o pregunta. El supuesto es el caso cuyos datos aritméticos conocemos, mientras que la pregunta es en el que existe la incógnita:
2.º Se compara cada magnitud con la que contiene la incógnita (días de trabajo) para comprobar por intuición si la proporcionalidad es directa o inversa según las hipótesis anteriores.
Con ello, mandan intuir que el número de hombres que trabajan en el agujero es inversamente proporcional al número de días de trabajo, porque «cuantos más hombres trabajen, menos días de trabajo llevará cavar el agujero». Así, nos enseñan a colocar el signo − debajo de 9 hombres. Sin embargo, en el caso de 5 hombres se coloca el signo +.
Se debe hacer una comparación entre magnitudes puramente intuitiva para conocer el tipo de proporción (directa o inversa) según las dos hipótesis anteriores.
El número de horas diarias de trabajo es inversamente proporcional a los días de trabajo porque, por intuición, «cuantas más horas se trabaje al día menos días habrá de trabajo», debiendo colocar un − abajo y un + arriba.
La profundidad del agujero en metros es directamente proporcional a los días de trabajo, dado que se intuye que «cuantos más días se trabaje en el agujero, más profundo será», por lo que se coloca un + abajo y un − arriba.
De esta forma, la tabla actualizada queda así:
De aquí, al parecer, se intuye que los números (solo los números, olvidándonos ya de sus magnitudes simplemente porque sí y sin ningún tipo de justificación), si tienen signo + se multiplican, y si tienen signo − se dividen, siendo la operación de todos ellos el valor de x, de tal forma que:
queda resuelta la regla de tres compuesta y se recupera su magnitud, que hemos ignorado en el cálculo, porque sí.
Ahora yo te pregunto, ¿te has enterado de algo?
Si dices que no, enhorabuena, sigues viendo que algo no va bien.
En cualquier caso, veamos algunos puntos importantes:
- Las matemáticas son un conjunto de definiciones a partir de las cuales surgen propiedades demostradas. ¿Dónde está la demostración de este procedimiento? Te adelanto que no existe.
- Recuerda que la regla de tres con magnitudes se basa en dos hipótesis arriba citadas. ¿Dónde está la demostración de esas dos hipótesis? Si son hipótesis, no son propiedades y no hay demostración, por eso sus respectivos enunciados empiezan con la expresión «se dice que».
- La segunda hipótesis indica la proporcionalidad inversa entre dos magnitudes. Sin embargo, no existe una magnitud inversa. ¿Cómo se concibe la inversa de metro (metro a la menos uno) o la inversa de segundo (segundo a la menos uno)? Si te interesa esta cuestión, te recomiendo el artículo Los inversos de las unidades físicas no existen, disponible también en LinkedIn.
Pues bien, el problema existente con la regla de tres con magnitudes es precisamente ese, que tiene magnitudes y no se tienen en cuenta. ¿Por qué? Ese ha sido el gran problema de la física: cómo tratar las magnitudes. La solución por la que se ha optado hasta el día de hoy ha sido muy simple: ignorarlas.
En mis libros Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber, me estoy preocupando por plasmar el razonamiento de las matemáticas desde lo más básico, el porqué de cada tema. Al llegar en el volumen 3 al tema de la regla de tres con magnitudes, me percaté de que algo estaba fallando.
Intentaba demostrar los razonamientos, pero era imposible. No era capaz de encontrar ninguna demostración del procedimiento de cálculo de este tipo de problemas con magnitudes, hasta que el autor del libro Primera álgebra de magnitudes me ilustró sobre el ausente tratamiento de las magnitudes y su investigación para el correcto cálculo con magnitudes.
Gracias a ese libro, he conseguido demostrar la mal llamada «regla de tres con magnitudes», descubriendo la importancia de la «Primera álgebra de magnitudes» para no dar pasos en falso en física y matemáticas, que debería ser objeto de estudio desde primaria, al menos en sus nociones básicas para entender la falsa regla de tres con magnitudes.
Si tienes interés en conocer la demostración de la mal llamada regla de tres con magnitudes, te dejo aquí el enlace con los capítulos de Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber. Volumen 3, en los que lo desarrollo.
Espero que cuando termines de estudiarlo comprendas la importancia de la «Primera álgebra de magnitudes».
Daniel Arnaiz es colaborador docente en el Máster en Dirección y Gestión de Recursos Humanos
